2013 CPA Management part 12번 풀이
- ㈜한국은 1월부터 6월까지 6개월 동안의 월별 생산계획을 수립하였다. 생산계획에 따르면 외주를 주지 않고, 매월 동일한 양의 제품을 생산하며, 수요 변동은 재고와 추후납품으로 흡수한다. 다음의 표는 6개월 동안의 제품 수요이다. 계획 시작시점인 1월의 기초재고는 0이고, 생산계획에 따른 6월의 기말재고는 0이 된다. 매월 발생되는 재고에 대해 다음 달 납품시점까지의 재고유지비용은 개당 1만원이고 다음 달에 추후납품을 하기 위해서는 개당 5만원의 비용이 발생한다. ㈜한국의 생산계획에 따라 발생하는 6개월 동안의 재고관련 비용(재고유지비용과 추후납품비용의 합)의 최소값과 가장 가까운 것은? (단, ㈜한국은 제품들을 생산된 순서에 따라 순차적으로 납품하고, 미납주문을 우선적으로 충족시킨다.)
| 월 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 수요(단위:개) | 100 | 200 | 200 | 300 | 300 | 100 |
① 533만원 ② 550만원 ③ 600만원 ④ 800만원 ⑤ 1,200만원
Solve
문제 자체는 매우 간단한 문제입니다. 문제 조건 중 기초재고 : 0, 기말재고 : 0이 주어져 있기 때문이죠.
| 월 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 수요(단위:개) | 100 | 200 | 200 | 300 | 300 | 100 |
| 생산량(단위:개) | x | x | x | x | x | x |
6개월 동안의 수요량 총합은 1,200입니다.
기초재고가 0이고, 기말재고가 0이므로 월 최대생산량은 200개로 한정됩니다.
문제에서 재고유지비용은 10,000/unit이고, 추후납품비용은 50,000/unit으로 주어져 있습니다.
즉, 재고고갈로 인한 추후납품비용이 과잉생산으로 인한 재고유지비용에 비해 High risk라는 것을 알 수 있습니다.
다소 과잉생산을 하여 재고유지비용을 지불하더라도 재고고갈은 피하는 것이 이득이겠죠?
매우 상식적으로 현재는 월 최대생산량 200개를 최적생산량으로 생각하고 추후납품비용을 최소화해야 할 것입니다.
\[x=200\]| 월 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 수요(단위:개) | 100 | 200 | 200 | 300 | 300 | 100 |
| 생산량(단위:개) | 200 | 200 | 200 | 200 | 200 | 200 |
| 재고수준 | 100 | 100 | 100 | 0 | 0 | 0 |
| 재고고갈 | 0 | 0 | 0 | 0 | 100 | 0 |
| 재고유지비용 | $1,000,000 | $1,000,000 | $1,000,000 | $0 | $0 | $0 |
| 추후납품비용 | $0 | $0 | $0 | $0 | $5,000,000 | $0 |
\(x=200\)일 때, 재고관련비용은 총 $8,000,000이 됩니다.
Solve.2 [Except one constraint]
이렇게 하면 문제가 재미없기 때문에 기말재고가 0이라는 제약조건을 제외하고 생산계획을 수립해보도록 하겠습니다.
먼저 \(x\)의 범위를 나누어 생각해보도록 하겠습니다.
순차적으로 한 시점 기준으로 재고가 남는 \(x\)와 재고고갈이 발생하는 \(x\)로 범위를 나누겠습니다.
1월 (수요량 : 100)
1월에 발생할 수 있는 비용은 2가지입니다.
\(x<100\) : 추후납품비용 \((100-x)\cdot 5\) -> 월말 재고 : 0
\(x\ge100\) : 재고유지비용 \((x-100)\cdot 1\) -> 월말 재고 : \(x-100\)
\(x<100\)인 경우는 더 이상 나눌 필요가 없겠죠? 이제 2월로 넘어가겠습니다.
2월 (수요량 : 200)
2월에 발생할 수 있는 비용은 3가지이지만 2가지만 보겠습니다.(\(x<100\)인 경우 제외)
\(100\le x\lt 150\) : 추후납품비용(월초 재고 \(x-100\)) \((300-2x)\cdot 5\) -> 월말 재고 : 0
\(x\ge 150\) : 재고유지비용(월초 재고 \(x-100\)) \((2x-300)\cdot1\) -> 월말 재고 : \(2x-300\)
3월 (수요량 : 200)
3월 또한 마찬가지로 \(x\ge150\)인 경우만을 고려하겠습니다.
\(150\le x\lt \frac{500}{3}\) : 추후납품비용(월초 재고 \(2x-300\)) \((500-3x)\cdot5\) -> 월말 재고 : 0
\(x\ge\frac{500}{3}\) : 재고유지비용(월초 재고 \(2x-300\)) \((3x-500)\cdot1\) -> 월말 재고 : \(3x-500\)
4월 (수요량 : 300)
4월 또한 \(x\ge\frac{500}{3}\)인 경우만 고려하겠습니다.
\(\frac{500}{3}\le x\lt 200\) : 추후납품비용(월초 재고 \(3x-500\)) \((800-4x)\cdot5\) -> 월말 재고 : 0
\(x\ge200\) : 재고유지비용(월초 재고 \(3x-500\)) \((4x-800)\cdot1\) -> 월말 재고 : \(4x-800\)
5월 (수요량 : 300)
5월 또한 \(x\ge200\)인 경우만 고려합니다.
\(200\le x\lt220\) : 추후납품비용(월초 재고 \(4x-800\)) \((1100-5x)\cdot5\) -> 월말 재고 : 0
\(x\ge220\) : 재고유지비용(월초 재고 \(4x-800\)) \((5x-1100)\cdot1\) -> 월말 재고 : \(5x-1100\)
6월 (수요량 : 100)
6월에는 특이한 현상이 발생합니다.
\(x\ge200\)인 경우는 6월에 추후납품비용이 발생할 수 없는 것입니다. 그래서 5월에 재고고갈이 발생했다 할지라도 6월에는 다시 재고유지비용을 부담하게 됩니다.
\(200\le x\lt220\)의 경우에 5월에 추후납품을 약속한 미납분을 6월 생산량에서 제외하고, 6월 수요를 충족시킨 후 남는 재고에 대해 재고유지비용이 발생해야 합니다.
즉, \(200\le x\lt220\)일 때의 6월 재고유지비용은 아래와 같이 계산됩니다.
\[6월말\ 재고수준\ =\ 6월\ 생산량\ -(6월\ 수요량\ +\ 5월\ 미납분)\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\ x-(100+(1100-5x))=6x-1200\]\(x\ge220\) : 재고유지비용(월초 재고 \(5x-1100\)) \((6x-1200)\cdot1\)인 것은 당연하겠죠?
이 전체 과정을 하나의 그림으로 표현해보겠습니다.
이를 가지고 \(x\) 각 범위에서 발생하는 재고관련비용을 계산하고 최적의 생산량을 찾아보겠습니다.
Calculate Optimal $ x$
Case \(x<100\) :
\[Total\ Cost=5\{(100-x)+(300-2x)+(500-3x)+(800-4x)+(1100-5x)+(1200-6x)\}=20000-105x\]Case \(100\le x\lt150\) :
\[Total\ Cost=(x-100)+5\{(300-2x)+(500-3x)+(800-4x)+(1100-5x)+(1200-6x)\}=19400-99x\]Case \(150\le x\lt\frac{500}{3}\) :
\[Total\ Cost=(x-100)+(2x-300)+5\{(500-3x)+(800-4x)+(1100-5x)+(1200-6x)\}=17600-87x\]Case \(\frac{500}{3}\le x\lt200\) :
\[Total\ Cost=(x-100)+(2x-300)+(3x-500)+5\{(800-4x)+(1100-5x)+(1200-6x)\}=14600-69x\]Case \(200\le x\lt220\) :
\[Total\ Cost=(x-100)+(2x-300)+(3x-500)+(4x-800)+(5500-25x)+(6x-1200)=2600-9x\]Case \(220\le x\) :
\[Total\ Cost=(x-100)+(2x-300)+(3x-500)+(4x-800)+(5x-1100)+(6x-1200)=21x-4000\]( \(x\) 범위에 따라 더 세분화되어야 하지만 이정도까지만 하도록 하겠습니다.[최적해 부근에서는 문제가 없으므로] )
이를 데카르트 좌표계에 나타내면 다음과 같습니다.
최적해 부근을 더 확대해서 보도록 하겠습니다.
6월말 재고가 0이라는 제약조건이 없으면 재고관련비용은 $6,200,000까지 내려갈 수 있는 것을 확인하였습니다.
시사점
하지만 여기서 생산량 \(x\)의 최적점이 220개라고 판단할 수는 없겠죠?
이 경우에는 6월말에 재고가 120개 발생합니다. 즉, 이 재고 120개가 유용한 것인지를 판단하여야 합니다.
이 재고는 다음분기로 넘어가서 어차피 또 수요가 있다면 \(x\)의 최적점은 220임이 틀림없습니다.
그러나 이 재고가 다음분기로 넘어가면 모두 폐기해야 하는 경우라면 비용을 다시 계산할 필요가 있습니다.
\(x\)가 200일 때 재고관련비용은 $8,000,000입니다.
\(x\)가 220일 때 재고관련비용과 $1,800,000 차이가 발생하죠.
그러나 \(x\)가 200일 때는 생산비용과 폐기비용을 고려할 필요가 없지만 \(x\)가 220일 때는 그것을 고려할 필요가 생깁니다.
즉, 해당 제품 120개의 생산비용과 폐기비용의 합이 $1,800,000을 넘어가면 두번째 대안은 기각해야겠죠.
\[120개\ 생산비용_X\ +120개\ 폐기비용_X\ (<or>or=)\ \ $\ 1,800,000\\\]결론적으로 관리자는 다음과 같은 의사결정을 해야합니다.
\(if\ \ 단위생산비용_X+단위폐기비용_X<$\ 15,000\) : \(x=220\)으로 설정
\(if\ \ 단위생산비용_X+단위폐기비용_X>$\ 15,000\) : \(x=200\)으로 설정
물론 이 전에 다음분기로 넘어간 재고가 폐기된다는 전제가 있을 때의 이야기입니다.
폐기되지 않고, 정상적으로 활용될 수 있다면 당연히 \(x=220\)으로 설정하는 것이 맞을 것입니다.